洛必达法则是什么？

洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法

定理 1　$\left(\frac{0}{0}\right)$

型 洛必达法则

　　 设函数 $f\left(x\right),g\left(x\right)$

在 $a$ 点的某一去心邻域 $U_0(a,\delta )$

上可导，而且满足：

1. $\underset{x\to a}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to a}{lim}g\left(x\right)=0$

• ;
• $g^{\prime }\left(x\right)\ne 0,\forall x\in U_0(a,\delta )$
• ;
• $\underset{x\to a}{lim}\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}=l$
• ($l$ 为有限数或 $+\infty$ 或 $-\infty$
  3. );

  　　 则有

  $$\begin{array}{}\underset{x\to a}{lim}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\underset{x\to a}{lim}\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}=l& \text{(1)}\end{array}$$
   
  上面的 $a$ 也可以取为 $+\infty$ 或 $-\infty$
  ，定理仍然成立．

   

  　　 洛必达法则可以通过柯西中值定理证明．

  未完成：证明补充

   

  　　 对于其中的一种特殊情况 $sf=\underset{x\to a}{lim}{f}^{\prime }\left(x\right),sg=\underset{x\to a}{lim}{g}^{\prime }\left(x\right)$

  存在且 $sg\ne 0$，可以通过函数的一阶近似式来理解：$f\left(x\right)=sf\cdot (x-a)+o(x-a),g\left(x\right)=sg\cdot (x-a)+o(x-a)$，于是 $\underset{x\to a}{lim}f\left(x\right)/g\left(x\right)=sf/sg=\underset{x\to a}{lim}{f}^{\prime }\left(x\right)/g^{\prime }\left(x\right)$

  ．利用泰勒展开公式作近似或者直接用洛必达法则，是求解分式函数极限问题的常用方法．

  定理 2　$\left(\frac{\infty }{\infty }\right)$

  型 洛必达法则

  　　 设函数 $f\left(x\right),g\left(x\right)$

  在 $a$ 点的某一去心邻域 $U_0(a,\delta )$

  上可导，而且满足：

  1. $\underset{x\to a}{lim}g\left(x\right)=\infty$
• ;
• $g^{\prime }\left(x\right)\ne 0,\forall x\in U_0(a,\delta )$
• ;
• $\underset{x\to a}{lim}\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}=l$
• ($l$ 为有限数或 $\pm \infty ,\infty$
  3. );

  　　 则有

  $$\begin{array}{}\underset{x\to a}{lim}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\underset{x\to a}{lim}\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}=l& \text{(2)}\end{array}$$
   
  上面的 $a$ 也可以取为 $+\infty$ 或 $-\infty$
  ，定理仍然成立．

   

  习题 1　

  　　 计算 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}$

  ．

  　　 直接对分子分母同时求导就可以求得：

  $$\begin{array}{}\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{\cos x}{1}=1& \text{(3)}\end{array}$$
   
  这告诉我们 $\sin x$ 和 $x$ 在 $x\to 0$ 时是等价无穷小量（需引用词条）．

   

  习题 2　

  　　 计算 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x-1-\sin x}{e^{\sin x}-\cos x-x}$

  ．

  　　 提示：用洛必达法则，对分子和分母同时求两次导，答案为 $0.5$

  ．

  　　 这里我们也可以通过对分子分母作二阶近似来计算．利用 $e^x=1+x+x^2/2+o\left(x^2\right),\sin x=x+o\left(x^2\right),\cos x=1-x^2/2+o\left(x^2\right)$

  对原式进行化简：

  $$\begin{array}{}\begin{array}{c}{e}^{\sin x}=e^{x+o\left(x^2\right)}=1+x+x^2/2+o\left(x^2\right)\\ \underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x-1-\sin x}{e^{\sin x}-\cos x-x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{x^2/2+o\left(x^2\right)}{x^2+o\left(x^2\right)}=\frac{1}{2}\end{array}& \text{(4)}\end{array}$$
   

   

  　　 在这个例子中，用一次洛必达法则不再能满足我们的要求，于是我们用了第二次洛必达法则，对分子分母再次求导．这对应着将分子分母的函数用关于 $x$

  的二阶近似公式来表示．从这里我们能看出洛必达法则与泰勒展开公式的联系．事实上，带皮亚诺余项的泰勒展开式可以轻易地由洛必达法则得到．